Hermann Günther Grassmann
(Stettin, 15 de abril de 1809 - 26 de septiembre de 1877)
fue un lingüista y matemático alemán.
Entre los muchos temas que abordó Grassmann está su ensayo
sobre la teoría de las mareas. Lo elaboró en 1840, tomando como base la teoría
de la Méchanique analytique de Lagrange y de la Méchanique céleste de Laplace,
pero exponiendo esta teoría por métodos vectoriales, sobre los que trabajaba
desde 1832. Este ensayo, publicado por primera en los Collected Works de
1894-1911, contiene el primer testimonio escrito de lo que hoy se conoce como
álgebra lineal y la noción de espacio vectorial. Grassmann desarrolló estos
métodos en Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik y Die
Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet.
En 1844, Grassmann publica su obra maestra, Die Lineale
Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, más conocido como
Ausdehnungslehre, que se puede traducir como "teoría de la extensión"
o "teoría de las magnitudes extensivas". Después de proponer en
Ausdehnungslehre nuevas bases para todas las matemáticas, el trabajo empieza
con definiciones de naturaleza más bien filosófica. Grassmann demostró además
que si la geometría se hubiese expresado en forma algebraica como él proponía,
el número tres no hubiese desempeñado el papel privilegiado que tiene como
número que expresa la dimensiones espaciales; de hecho, el número de posibles
dimensiones de interés para la geometría es ilimitado.
Fearnley-Sander (1979) describe la creación del álgebra
lineal de Grassmann de este modo:
"La definición de espacio lineal (...) se reconoce
abiertamente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron la
definición formal. En realidad dicha definición había sido formulada unos
treinta años antes por Peano, que había estudiado a fondo el trabajo matemático
de Grassmann. Grassmann no formuló una definición formal - no existía entonces
un lenguaje adecuado - pero no hay duda de que tuviera claro el concepto."
"Empezando con una colección de 'unidades' e1, e2, e3,
..., él, efectivamente, definió el espacio lineal libre que generaban; en otros
términos, considera la combinación lineal formal a1e1 + a2e2 + a3e3 + ... donde
aj son números reales, define la suma y la multiplicación de números reales [en
el modo que se usa actualmente] y demuestra formalmente las propiedades de
espacio lineal de estas operaciones. (...) Desarrolla la teoría del la
independencia lineal de modo extraordinariamente similar a la presentación que
podemos encontrar en los textos modernos de álgebra lineal. Define la nocione
di subespacio, independencia, longitud, desdoblamiento, dimensión, suma e
intersección de subespacios, y proyección de elementos en los
subespacios."
"...pocos estuvieron tan cerca como Hermann Grassmann
de crear, trabajando en solitario, una nueva disciplina."
Desarrollando una idea de su padre, Grassmann definió
también en Ausdehnungslehre el producto exterior, llamado también
"producto combinatorio" (en alemán: äußeres Produkt o
kombinatorisches Produkt), la operación clave en el álgebra que hoy se conoce
como álgebra externa. (Conviene no olvidar que en los tiempos de Grassmann la
única teoría axiomática disponible era la Geometría euclidiana, y que la noción
general de álgebra abstracta aún no había sido definida.)
Como pudimos ver en la clase, el descubrimiento de Grassmann fue muy importante en el área de matemáticas pues descubrió que la diferencial y el gradiente pueden cambiar la dimensión que se tiene.
curvas__ grado 1 =onda
superficies__grado 2=bi-forma, bi-onda
volúmenes__grado 3=tri-forma, tri-onda
todas las especies se dividen en intensivas y extensivas.
REGLAS DE LEIBNIZ
La regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente
Demostración:
Suponiendo que se quiere derivar:
Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:
- ya que la derivada de
es
- y la derivada de
es
.
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